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数论中的数码和题目

  

数论中的数码和题目

  2 0 1 8年第 3期 7 数 论 中 的 数 码 和 闻 题 姚 亮 中 图分 类 号 : 0 1 5 6 . 1 文 献 标 识 码 :A 王 坤 文章编号 : 1 0 0 5—6 4 1 6 ( 2 0 1 8 ) 0 3— 0 0 0 7一o 2 ( 广东省深圳 中学 , 5 1 8 0 0 1 ) 本文通过几个 多位 数的数码 和问题来 研 究这一类数论 问题 的 常用 解 法. 记 ( / 7 , ) 为n 的二进制表示下 的数码和 , S ( n ) 为 n的十进 制表示下 的数 码和. 先 证 明 两个 结 论 . 则 B仍为 b 一1 的倍数 , 且 B< A; ( 2 ) 若0 + 口 f ≥6 , 令 B= 一a i b 一a i b + ( 0 +0 —b ) b h +b h , 取k 充分大 , 使得 如 + r > n , 则 B的各位 数 码 之和小于 A的各位数码之 和. 其次 , 有1 ≤n ≤n一 1 . 若n ≥ , 令 D =A —a i b +a i b “ ~. 结论 1 在 n ! 的素 因数 分 解 中, 2的幂 次 为 n— s ( ) . 结 论 1的证 明 n = 设 ∑2 n 1 > n 2 > …> I > 0 , s ( n ) = s ) . 则 仍为 6 “ 一1 的倍数 , 且 D< . 记[ ] 表示不超过实数 的最大整数. 则 n ! 中 2的幂次为 从而, ∑0 ≥ n ( b 一 1 ) . 否则, A < ( 6 — 1 ) ∑6 = 6 一 1 , 与( 6 一1 ) l A矛盾. 【 】 = s n i - 1 = ( 2 一 ? ) = — s ( ) . 例 1 求具有下述性 质的所有正整数: 结论 2 已知 b ( b >2 I ) 为给定 的正 整数. 若一个 b进 制 数 是 b 一1的倍 数 , 则这 个 b 进制数 的数码 和至少为 ( b 一 1 ) n . 结论 2的证 明 在被 b 一1整 除 的所 有 对 任 意 的 正 整 数 n , 有 2 “ } . ( 2 0 1 5 , 全 国高 中数学联合竞赛 ) 解 由结论 1 , 知 r : e e #N 2 的幂次为 数中, 数码 和最小 的数 中设数值最小 的为 k n— ( )一( n— s ( ) ) = A = ∑6 ( > n 2 > …> ≥ 0 , 0 ≤ ≤ 6 — 1 ) . 首先 , 有n 与n i 模 n余 数不 同. 如若 不 然, 设 ( k 一1 ) n一( s ( k n )一s ( n ) ) . 则满足要求的 k 为对任意的正整数 n , 有 s ( k n ) ≥s ( ) . 对于所有 为 2的幂次有 s ( k n )= s ( 2 m n )= ( 凡 ) , n f 三 三r ( mo d n ) ( O≤r ≤ 一1 , i < ) . ( 1 ) 若口 + ≤6 — 1 , 令 B =A — ai b +ai 6 . 满 足要求. 对于非 2的幂 次数 k , 由于乘 以2的幂次 收稿 日期 : 2 0 1 7—1 1— 2 9 不改变这 个数 的二进 制 数 码 和 , 故不 妨设 k 8 中 等 数 学 为 大 于 1的奇 数 . 由 欧拉 定 理 知 I ( 2 一1 ) . 可设 k t = 2 一1 . 则 t 在 二 进 制 下 最 多 有 m 一1 位. 倍 数. 又a 、 b 、 c 两 两互 素 , 则a 、 b 、 c中有两 个 数不为 3的倍 数 , 这 两个 数之 积不 为 3的倍 数, 但 m为乘积 的数码 和 , 矛盾. 故a b c 不 为 3的倍数 , 从而 , a , b 、 c 均 不为 3的倍 数 , 它们 必有两数 除 以 3 余数相同, 这两 数之 积除 以 取n = 小+ ∑2 “ 1 . 则 、 i= l I k n = k t ( 3 + ∑2 1 _ 2 “ “ + 2 _ 3 . 、 i =l / 3 余1 . 因此 , 所有 m除 以 3余 1 . ( 1 ) 当 a=b= C =1时 , 有 S ( 口 6 ) = S ( a c ) =S ( b c ) =1 ; 故S ( k n ) =m, ( n ) > q . 取q 为 m+l , 可知存在 n 使得 s ( k n ) < s ( n ) . 当a = 8 , b = 8 2 : 9, c = 1 个 k一1 个 ( ≥1 ) 时, 有 综上 , 所求 的 为 2 。 ( a= 0 , 1 , …) . 例 2 试求完 全平方数 的各位 数码 之和 能够取 到的所有 正整数. . s ( 6 ) = S ( a c ) =S ( b c ) = 9 k+1 , 且a 、 b 、 c两两 互 素. ( 2 ) 当 a= 2 , b=1 1 , c=1 0 1时 , 有 . s ( 口 6 ) =S ( a c ) =S ( b c ) = 4; 【 分析 】 对于一个数的各位数码之和, 一 般先考虑其 除 以 9的余数. 因为完全 平方 数 除以3 余 0或 1 , 若完全平方数 为 3的倍数 , 则其为 9的倍 数 , 所以, 得 出完全平方数除 以 当 = 2 , b= 个 , c = 4" 9 _ 2 ; 9 7 ( ≥1 ) 时, 有 一1 个 5 ( a b ) =S ( a c ) = S ( 6 c ) = 9 k+ 4 , 且a 、 b 、 c 两两互素. 9的余数 只能 为 0 、 1 、 4 、 7 . 对于构 造 , 可 以从 一 ( 3 ) 当 0= 4 , b =1 3 , c = 3 1 时, 有 S ( 6 ) =S ( a c ) = S ( b c ) = 7; 些熟知 的计算 中找 出. 解 首先 , 平方数 除 以 9的余数 为 0 、 1 、 当 a= 4 , b= 4 2 z _ 9, c = 个 9 7 ( ≥1 ) 时, 有 k一1 个 4 、 7, 则平方数的数码之和除以 9余 0 、 l 、 4 、 7 . 其次 , 由于 9… — 、 , _ 一 =9 …9 8 O…O 1 — 、,一 — S ( 口 6 ) = S ( a c ) =S ( b c ) =9 k+ 7, 且 a、 b 、 C 两两互 素. 一 综上 , m为除以 3 余 l 的所有 正整数. 例 4 设 n为给定正 整数. 证明: 存在公 差不为 1 O的倍 数的无穷等差数列 , 使得数 列 中所有项的十进制表示下的数码和均大于 n . 个 一1 个 一 1 个 的数 码 之 和 为 9 , 1的完全平方数 的数码之和 为 1 , 2的完全平方数 的数码之 和为 4 , 5 = L 个 个 5的数码之和为 3 + 7 , k+1 个 【 分析 】 此 问题让 许 多 学生 感 觉 无 从 下 手, 主要原 因是这个数列有无穷 多项. 对 于一 个给定 的公 差 d , 不太 好 确定 这 个数 列 后 面 项 的数码 和. 因此 , 转为 思考 : 对怎样 的一 些 从而, 完全平 方 数 的数码 之 和 可 以是 除 以 9 余 数为 0 、 1 、 4 、 7的所有正整数. 例 3 求所 有 的正 整 数 m: 使 得存 在 两 两互素 的正整数 a 、 b 、 c , 满 足 S ( a b ) = S ( a c ) :S ( b c ) =m . 数, 其数码 和均会 比较大 ? 证明 a = n 个 构造等 差数列 ( k=1 , 2 , …) . 【 分析 】 此题看 上去不 好人 手 , 但 是与数 码和有关 , 一般都会先模 3试试. 可 以发 现 m 模 3应该余 l , 构造方法 同例 2 . 解 假设 a b c为 3的倍 数. 则 m 为 3的 由结论 2, 知此 数 列 中每 一项 的数 码 和 至少 为 9 n> n , 满足题 目 要求. 例 5 是否存在一个 1 0 0 0 0项 的等差数 列, 各项 均为 正整 数 , 严 格递 增 , 且各 项 的数 2 0 1 8年第 3期 9 从一道 清华 大学 数学 金 秋营 试题 谈 起 程 振 峰 中图分类号 : O1 2 2 . 4 文献标识码 : A 李 玉 梅2 2 . 天津市南 开中学滨 海生态城学校 , 3 0 0 4 6 7 ) 文章编号 :1 0 0 5—6 4 1 6 ( 2 0 1 8 ) 0 3一 O O O 9— 0 3 ( 1 . 天津师范大学数学科学学 院 2 0 1 6 级 硕士研究生 , 3 0 0 3 8 7 先看一 道 2 0 1 7年 清 华 大 学 数 学 金 秋 营 ( 1+ ) = 试题. l+似 + 2 + 例 1 设 、 凡∈ Z , 且 m≤ . 证明 I c : < ㈢. 【 分析 】 注意到 , C =1 . 当i E Z+ 且i ≤n时 , s+ . . . 3 ● 。 , 其中, O t E R, E( 一 1 , 1 ) . 当 E Z+ 时, 此式 即为二项式 展开. 当O t =一1时 , ( 1 + ) 一 = 1 一 + X 2 一 X 3 + …( E( 一 1 , 1 ) ) . 例 2 设 p为大于 3的奇素数 , q = . c : = 则∑ c : ≤ 1 + ∑ ≤ 署 , 当且仅 当 i = 1 时, 上式等号成立. 证 明 : ∑c = - 1 ( o r o d p ) _ - . 3  ̄ 2 c 兰 一 l ( m o d p ) . ( 2 0 1 6 , 清华大学数学金 秋营 ) ≤ ㈡ + 筹 ㈡一 ㈡ ( + 筹 ) ㈢ < ㈢ . : 【 分析 】 当P= 5时, ∑c = 1 + 2 + 6 = 9 -一 1 ( m o d 5 ) ; 当 P= 7时 , 、—1 < e = 综上 , 原命 题成立. c = 9+2 0=2 9三1 ( oo r d 7 ) ; 本题用到了两个高等数学 中的泰勒公式 : e ( E R) , 当P=1 1时 , ∑c = 2 9 + 7 0 + 2 5 2 = 3 5 1 =一 - 1 ( o r o d 1 1 ) ; 当 P=1 3时 , 凡一1 段与 ( +1 ) d的数码 和. 故S ( a 1 +( 十1 ) d ) 一 S ( a l + d ) =. s ( +1+ 9 9 9 9 ) 一 5 ( 后 ) = 收 稿 日期 : 2 0 1 7—1 1 —1 4 码和也严格递增 ? 解 存在. 令 1=9 ) 9: ) ( D9 ) 8 0 9 9 9 7 0? ? . 0 ( ) 0 ( 1 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0, d = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 …0 0 0 0 1 ( 比n 1 少三位 ) , 此 等差数列严格递增. 1+ J s ( ) 一S ( ) =1 , 对于 < 9 9 9 9 , a 的第 段 ( 自右 起 五 个数字 为一段 ) 与 的数 码 和 即 n 的 第 即此数列 的每一项的数码和均 比前一项大 1 . 因此 , 这样 的数列存在.

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